Bonjour pouvez vous m'aider s'il vous plaît merci

Bonjour,

Aire MNPQ = MN x QM

MN = yN car yM = 0

et N ∈ (Cf) ⇒ yN = 4 - xN² = 4 - x² car M et N ont la même abscisse x

Donc MN = 4 - x²

QM = 2x car Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et donc xQ = -xM

(on peut démontrer la symétrie : f(-x) = 4 - (-x)² = 4 - x² = f(x) donc fonction paire)

Donc aire MNPQ = 2x(4 - x²)

Soit g(x) = 2x(4 - x²) = -2x³ + 8x définie pour x ∈ [0;2]

g'(x) = -6x² + 8 = -2(3x² - 4)

g'(x) = 0

⇒ 3x² - 4 = 0

⇔ x² = 4/3

⇒ x = √(4/3) = 2/√3   (appartient bien à [0;2])

x              0                      2/√3                          2
g'(x)                      +            0              -
g(x)              croissante          décroissante

Donc g(x) atteint son maximum pour x = 2/√3

Et donc Aire MNPQ est maximale pour x = 2/√3