Bonjour quelqu'un peut-il m'apporter son aide ?

Bonjour,

1) Voir fichier Excel ci-joint

On peut conjecturer que (Un) est décroissante et converge vers 0

2) Au rang n = 0, Un = a avec a ∈ R+* ⇒ U₀ > 0

Supposons qu'au rang n, Un > 0

Au rang n+1 : Un+1 = Un * e^(-Un)

Pour tout x réel, eˣ > 0 ⇒ e^(-Un) > 0

et par hypothèse de récurrence, Un > 0

Donc Un * e^(-Un) > 0

⇔ Un+1 > 0

La propriété est donc héréditaire ⇒ pour tout entier naturel n, Un > 0

3) Un+1 - Un

= Un * [e^(-Un) - 1]

e^(-Un) = 1/e^(Un)

Un > 0 ⇒ e^(Un) > 1 ⇒ e^(-Un) < 1

⇒ e^(-Un) - 1 < 0

⇒ Un+1 - Un < 0

⇔ Un+1 < Un

⇒  (Un) est décroissante

4) (Un) est décroissante et minorée (Un > 0) ⇒ (Un) est convergente

lim Un quand n→+∞ = lim Un+1 quand n→+∞

Soit l cette limite.

On aurait alors : l = lim l * e^(-l)

lim l * e^(-l) = lim l/e^l = l/e^l

⇒ l = l/e^l

⇔ 1 = 1/e^l

⇔ e^l = 1

⇒ l = 0

Donc lim Un quand n→+∞ = 0

(Un) est donc convergente vers 0



La formule à saisir en :

B3 : =B1

B4 : = B3*EXP(-B3)