MATHS !Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour ce devoir: Exercice : Soit f la fonction définie sur [0;+l'infini[ f(x)=2 / ((e^x)+1) Dans le repère orthonormé (
Mathématiques
cynthiarosset4
Question
MATHS !Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour ce devoir:
Exercice :
Soit f la fonction définie sur [0;+l'infini[ f(x)=2 / ((e^x)+1)
Dans le repère orthonormé (O; i: j), on considère un point M sur la courbe représentative de la fonction f et les poins P et Q, projetés orthogonaux du point M respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.
Montrer qu'il existe une unique valeur alpha de l'abscisse du point M telle que l'aire du rectangle OPMQ est maximale.
Déterminer une valeur approchée de alpha au centième près.
********j'ai essayé d'utiliser la dérivée de la fonction calculant l'aire de OPMQ mais c pas gagné pour trouver le tableau de signes :-(
CET EXERCICE EST EN LIEN AVEC LES CHAPITRES FONCTION EXPONENTIELLE ET DERIVABILITE/CONTINUITE.
Merci d'avance de votre aide.
Exercice :
Soit f la fonction définie sur [0;+l'infini[ f(x)=2 / ((e^x)+1)
Dans le repère orthonormé (O; i: j), on considère un point M sur la courbe représentative de la fonction f et les poins P et Q, projetés orthogonaux du point M respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.
Montrer qu'il existe une unique valeur alpha de l'abscisse du point M telle que l'aire du rectangle OPMQ est maximale.
Déterminer une valeur approchée de alpha au centième près.
********j'ai essayé d'utiliser la dérivée de la fonction calculant l'aire de OPMQ mais c pas gagné pour trouver le tableau de signes :-(
CET EXERCICE EST EN LIEN AVEC LES CHAPITRES FONCTION EXPONENTIELLE ET DERIVABILITE/CONTINUITE.
Merci d'avance de votre aide.
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
M(x;f(x)
P(x;0)
Q(0;f(x))
Aire OPMQ = OP x OQ
= xf(x)
= 2x/(eˣ + 1)
Soit f la fonction x → f(x) = 2x/(eˣ + 1) définie sur [0;+∞[
f'(x) = [2(eˣ + 1) - 2xeˣ]/(eˣ + 1)²
= 2(-xeˣ + eˣ + 1)/(eˣ + 1)²
on pose g(x) = -xeˣ + eˣ + 1 définie sur Dg = [0:+∞[
g'(x) = -eˣ - xeˣ + eˣ = -xeˣ
⇒ g'x) ≤ 0 sur Dg
x 0 +∞
g'(x) 0 -
g(x) 2 décroissante -∞
⇒ il existe un unique α ∈ [0;+∞[ /g(α) = 0
on trouve α ≈ 1,27 à 10⁻² près
x 0 α +∞
g(x) 2 + 0 -
f'(x) + 0 -
f(x) crois. décroiss.
⇒ f atteint un maximum pour x = α
soit une aire maximale pour x = α ≈ 1,27