Bonsoir, Je suis en terminale S. j'ai un DM en math dont certains exercices me posent problèmes qui sont en pièce jointe. Merci aux personnes qui pourront m'aid

Bonjour,

Ex 5)

1) limites

En -∞ :

-5eˣ⁻² → 0
5x - 3x/e² + 54 → 5x(1 - 3/5e² + 54/5x) → 5x(1 - 3/5e²) → -∞
-3e⁻ˣ → -∞

donc par addition, f(x) → -∞

En +∞ :

-5eˣ⁻² → -∞
5x(1 - 3/5e²) → +∞
-3e⁻ˣ → 0

Donc forme indéterminée +∞ -∞ : on factorise

f(x) = -5eˣ⁻²[1 - 5x/5eˣ⁻² + 3x/5e²eˣ⁻² + 3e⁻ˣ/5eˣ⁻² - 54/eˣ⁻²]

= -5eˣ⁻²[1 - e²x/eˣ + 3x/eˣ + 3/5e²ˣ⁻² - 54/eˣ⁻²]

      ↓               ↓            ↓          ↓              ↓
     -∞              0            0          0             0

donc lim f(x) quand x→+∞ = -∞

2) f'(x) = -5eˣ⁻² + 5 - 3/e² + 3e⁻ˣ

(3e⁻ˣ  + 5)(1 - eˣ⁻²) = 3e⁻ˣ - 3e⁻ˣeˣ⁻² + 5 - 5eˣ⁻² = -5eˣ⁻² + 5 -3/e² + 3e⁻ˣ = f'(x)

3)

3e⁻ˣ + 5 = 0 ⇔ e⁻ˣ = -5/3  pas de solution

1 - eˣ⁻² = 0 ⇔ eˣ⁻² = 1 ⇒ x - 2 = 0 ⇔ x = 2

x        -∞              2            +∞
f'(x)            +        0      -
f(x)     -∞    ↑                ↓    -∞

f(2) = -5 + 10 - 6/e² - 3/e² + 54 = 59 - 9/e²    (≈ 57,78 donc > 0)

4) on en déduit : il existe α ∈ ]-∞;2] / f(α) = 0 et il existe β ∈ [2;+∞[ / f(β) = 0

On trouve : α ≈ -2,63 et β ≈ 4,71 à 10⁻² près

5) On en déduit :

x      -∞                  α                      β                    +∞
f(x)              -         0          +          0          -


Ex 6)

z' = (z - 2)/(z + i)

1)

|z'| = |(z - 2)/(z + i)| = |z - 2|/|z + i| = AM/BM

2)

arg(z') = arg(z - 2) - arg(z + i) = angle(BM;AM)

3) z' ∈ R*

⇒ arg(z') = 0 [kπ]

⇒ angle(BM;AM) = 0 [kπ]

⇒ M ∈ (AB) privée de B

4) z' ∈ I*

⇒ angle(BM;AM) = π/2 [kπ]

⇒ ABM rectangle en M

⇒ M appartient au cercle de diamètre [AB] privé de B

5) |z'| = OM = 1

⇒ AM/BM = 1

⇔ AM = BM

⇒ M appartient à la médiatrice du segment [AB]

Ex 7)

z' = (3z - 1)/(z + 2)

= (3x - 1 + 3iy)/(x + 2 + iy)

= (3x - 1 + 3iy)(x + 2 - iy)/[(x + 2)² - (iy)²]

= [(3x² + 6x - x - 2 + 3y²) + (-3xy + y + 3xy + 6y)i]/[(x + 2)² + y²]

Re(z') = (3x² + 5x + 3y² - 2)/[(x + 2)² + y²]

Im(z') = (7y)/[(x + 2)² + y²]

2) z' ∈ R

⇒ Im(z') = 0

⇒ y = 0

⇒ z' = Re(z') = (3x² + 5x - 2)/(x + 2)² = (x + 2)(3x - 1)/(x + 2)² = (3x - 1)/(x + 2)

F = Hyperbole d'équation y = (3x - 1)/(x + 2)