Bonjour, j'ai un dm de spé maths à faire mais je n'y comprends pas grand chose, un peu d'aide ne me serait pas de refus !! Merci d'avance.

Bonjour,

je ne suis pas sur d'avoir le temps de terminer. Alors voilà déjà le début..

1) a) (a;b) solution de (E)

⇔ a² - 7b² = 1

⇔ a² = 7b² + 1 ⇒ a > b      (car a et b entiers naturels non nuls donc strictement positifs)

b) Soit q un diviseur commun de a et de b

⇒ a ≡ 0 [q] et b ≡ 0 [q]

⇒ a² ≡ 0 [q] et -7b² ≡ 0 [q]

⇒ a² - 7b² ≡ 0 [q]

Or a² - 7b² = 1, donc 1 ≡ 0 [q] ⇒ q = 1

Le seul diviseur positif commun à a et b est donc 1.

c) On en déduit que a et b sont premiers entre eux.

Donc : a² = 7b² + 1 ⇒ a² ≡ 1 [7]

Restes de la division de n par 7  :    0  1  2  3  4  5  6
Restes de la division de n² par 7 :    0  1  4  2  2  4  1

Donc a² ≡ 1 [7] ⇒ a ≡ 1 [7] ou a ≡ 6 [7]

soit a ≡ 1 [7] ou a ≡ -1 [7]

2) 7b² = a² - 1

a = 1 ⇒ a² = 1 ⇒ 7b² = 0 impossible car b≠0
a = 8 ⇒ a² = 64 ⇒ 7b² = 63 ⇒ b² = 9 ⇒ b = 3

Le couple (8;3) est donc solution de (E)

3) a)

Initialisation : n = 1

8 + 3√7 = a₁ + b₁√7 avec (a₁;b₁) = (8;3) qui est bien solution de (E)

Hypothèse : Propriété vraie au rang n

Au rang (n + 1) :

(8 + 3√7)ⁿ⁺¹ = (8 + 3√7)(8 + 3√7)ⁿ

= (8 + 3√7)(an + bn√7) par hypothèse de récurrence, avec (an;bn) solution de (E)

= 8an + 8bn√7 + 3an√7 + 21bn

= (8an + 21bn) + (3an + 8bn)√7

En posant : an+1 = 8an + 21bn   et bn+1 = 3an + 8bn

= an+1 + bn+1√7

Reste à vérifier que (an+1;bn+1) est solution de (E)

(an;bn) solution de (E) ⇔ an² - 7bn² = 1

an+1² - 7bn+1²

= (8an + 21bn)² - 7(3an + 8bn)²

= 64an² + 336anbn + 441bn² - 63an² - 336anbn - 448bn²

= an² - 7bn²

= 1

Donc (an+1;bn+1) est bien solution de (E)

b) an+1 = 8an + 21bn et bn+1 = 3an + 8bn définissent 2 suites

donc (E) a une infinité de solutions

c) voir ci-joint

4) a) en B3 : = 8*B2 + 21*C2
en C3 : = 3*B2 + 8*C2

je t'abandonne là :(