bonjour svp aider moi à faire les deux dernières questions 3/a et 3/b merci d'avance.

Bonjour,

3)a)

Vn+1² = 1 + 24Un+1

= 1 + 24/16 x [1  + 4Un + √(1 + 24Un)]

Vn² = 1 + 24Un et Vn ≥ 0 ⇒ Vn = √(1 + 24Un) et Un = (Vn² - 1)/24

Donc :

Vn+1² = 1 + 3/2 x [1 + 4(Vn² - 1)/24 + Vn]

= 1 + 3/2 x [1 + Vn²/6 - 1/6 + Vn]

= 1 + 3/2 x [1/6(Vn² + 6Vn + 5)]

= 1 + 1/4(Vn² + 6Vn + 5)

= 1/4(Vn² + 6Vn + 9)

= 1/4(Vn + 3)²

Vn+1 ≥ 0 ⇒ Vn+1 = 1/2(Vn + 3)

Et donc Vn+1 - 3 = 1/2(Vn + 3) - 3

= 1/2 x Vn + 3/2 - 6/2

= 1/2 x Vn - 3/2

= 1/2 x (Vn - 3)

⇒ (Vn - 3) géométrique de raison q = 1/2 et de premier terme V₀ = √(1 + 24U₀) = 5

b) On en déduit Vn - 3 = 5 x (1/2)ⁿ

Donc Vn = 5 x (1/2)ⁿ + 3

Et Un = (Vn² - 1)/24

= [[5 x (1/2)ⁿ + 3]² - 1]/24

= ...je ne crois pas que ce soit utile de développer...