Bonjour est ce que quelqu’un pourrais m’aider pour mon DM de mathématiques de Terminal S svp ?

Bonjour,

1) lim Un quand n→+∞ = l, l ∈ R

⇔ La suite (Un) est convergente.

Ce qui peut se traduire par :

∀ ε > 0, il existe n₀ ∈ N / ∀ n ≥ n₀, |Un - l| < ε

2) lim vn quand n→+∞ = lim Un+1 quand n→+∞ = lim Un quand n→+∞ = l

⇒ (Vn) est convergente et sa limite vaut l.

3) a) Une suite (Un) est minorée par m, m ∈ R, si ∀ n ∈ N, Un ≥ m

Dans le cas de la suite supposée par l'élève, on aurait donc : ∀ n ∈ N, Un ≥ 2

Et lim Un quand n → +∞ = 0

ce qui est évidemment contradictoire, car si Un ≥ 2, lim Un ≥ 2.

b) i) ...

ii) ∀ n ∈ N, Un ≥ m

et m > l ⇒ (m + l)/2 < 2m/2 soit (m + l)/2 < m

Par conséquent, ∀ n ∈ N, Un ≥ (m + l)/2

et donc Un ∉ ]-∞; (m + l)/2[

iii) L'hypothèse m > l est donc erronée

⇒ Si une suite (Un) minorée par un réel m, converge vers un réel l, alors m ≤ l

Application

1) f'(x) = [2x*2x - 2(x² + 2)]/(2x)² = (2x² - 4)/4x² = 2(x - √2)(x + √2)/4x²

⇒ f'(x) ≥ 0 sur [√2;+∞[ ⇒ f croissante

2) ∀ n ∈ N, Un+1 = f(Un)

f(√2) = (2 + 2)/2√2 = 2/√2 = √2

f croissante sur [√2;+∞[ ⇒ ∀ n ∈ N, Un+1 ≥ Un ⇒ f(Un) ≥ f(0) donc U+1 ≥ √2

Un+1 = (Un² + 2)/2Un = Un/2 + 1/Un ≤ Un 

donc ∀ n ∈ N, √2 ≤ Un+1 ≤ Un

3) (Un) est donc minorée par √2 et décroissante.

On en déduit que (Un) est convergente et que, d'après les questions précédentes : l = lim Un quand n→+∞ ≥ 2

4) a) lim Un+1 = lim Un

⇒ lim (Un² + 2)/2Un = l

⇒ (l² + 2)/2l = l

⇔ (l² + 2)/2l - 2l²/2l = 0

⇒ (-l² + 2)/2l = 0

b) l = √2 ou l = -√2

c) Or on sait que l ≥ √2

donc l = √2

5) U₄ - √2 ≈ 1,59.10⁻¹²

On peut donc conclure que U₄ ≈ √2 à 10⁻¹² près et donc que U₄ est une valeur approchée de √2

Exercice 2

U₀ = 1 et Un+1 = 3Un/(Un + 1)

Soit f la fonction définie par f(x) = 3x/(x + 1) pour tout x réel ≠ -1

f'(x) = [3(x + 1) - 3x]/(x + 1)² = 1/(x + 1)² > 0 ⇒ f croissante sur Df

f(0) = 0 et Un+1 = f(Un) ⇒ f(Un) ≥ 0

Donc 0 ≤ Un+1 ≤ Un

⇒ (Un) décroissante et minorée

⇒ (Un) convergente

lim Un+1 = lim Un

⇒ 3l/(l + 1) = l

⇔ (3l - l(l + 1))/(l + 1) = 0

⇒ -l² + 2l = 0

⇔ l = 2