Bonjour pouvez vous m’aider a faire ces ecos svp demain jai un grand controle et ces exercices sont des aides svpp aidez moi merci d’avance

Bonjour,

Ex 2)

1) f(x) = 1/√(x + 3)

Il faut : x + 3 > 0 ⇒ x > -3 ⇒ Df = ]-3;+∞[

f est de la forme 1/u avec u(x) = √(x + 3)

⇒ u'(x) = 1/2√(x + 3)

⇒ f'(x) = -u'(x)/u²(x) = -1/2(x + 3)√(x + 3)

⇒ f'(x) < 0 sur Df

⇒ f décroissante sur Df

2) g(x) = -1/(x² + 1)

Dg = R

g'(x) = 2x/(x² + 1)²

x          -∞                    0                    +∞
g'(x)                -           0        +
g(x)            décrois.        croiss.

3) h(x) = 2/√(2x² - 7x + 5)

Il faut 2x² - 7x + 5 > 0

x = 1 est une racine évidente : 2x² - 7x + 5 = (x - 1)(2x - 5)

donc la seconde racine est x = 5/2

2x² - 7x + 5 > 0 à l'extérieur des racines donc Dh = ]-∞;1[∪]5/2;+∞[

h'(x) = -2(4x - 7)/[(2x² - 7x + 5)√(2x² - 7x + 5)]

= -2(4x - 7)/[(x - 1)(2x - 5)√(2x² - 7x + 5)]


x                    -∞                  1             7/4               5/2                   +∞
-2(4x - 7)                  +                +      0         -                      -
x - 1                           -         0     +                 +                     +
2x - 5                         -                 -                 -          0          +
h'(x)                           +        ||        non définie          ||           -    
h(x)                    crois.         ||       non définie          ||     décrois.

Ex 3)

f(x) = -x³/2  + x² - 5

f est un polynôme donc définie et dérivable sur R

f'(x) = -3x²/2 + 2x

f(1) = -9/2      et f'(1) = 1/2

⇒ tangente en x = 1 : y = f'(1)(x - 1) + f(1)

soit y = x/2 - 5

2) g(x) = √x + 5

définie sur R+ et dérivable sur R+*  (non dérivable en 0)

...

3) h(x) = (x + 2)/(x² + 3)

définie et dérivable sur R

...

Ex 4)

|√2 - 2| = -√2 + 2  car (√2 - 2) < 0        = √2(√2 - 1)

|√(0,213) - 0,213| = √(0,213)  - 0,213 car √(0,213) > 0;213      = √(0,213)[1 - √(0,213)]

|√x - x| = √x - x  si √x ≥ x ⇔ x - x² ≥ 0 ⇔ x(1 - x) ≥ 0 ⇒ 1 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1

et |√x - x| = -√x + x si x ≥ 1

|x + 5| = x + 5 si x ≥ -5 ⇒ x+ 5 = 2 ⇔ x = -3
|x + 5| = -x - 5 si x ≤ -5 ⇒ -x - 5 = 2 ⇔ x = -7