Bonsoir/bonjour ! Je suis en Terminal S, j'ai besoin de votre aide pour cet exercice car je n'y arrive pas s'il vous plaît. Merci beaucoup . ..

Bonjour,

Partie A

1) V₀ = 12

Vn+1 = 1,05Vn

⇒ (Vn) suite géométrique de raison q = 1,05 et de premier terme V₀ = 12

2) Non, car (Vn) est croissante et lim Vn en +∞ = +∞

alors que les contraintes du milieu imposeraient Vn ≤ 60000

Partie B

U₀ = 12 et Un+1 = -1,1Un²/605 + 1,1Un

1)a) g'(x) = -2,2x/605 + 1,1 = (-2,2x  + 665,5)/605

g'(x) = 0 ⇒ x = 665,5/2,2 = 302,5

Donc sur [0;60], g'(x) > 0

⇒ g croissante

b) g(x) = x

⇔ -1,1x²/605 + 0,1x = 0

⇒ -1,1x² + 60,5x = 0

⇔ 1,1x(-x + 55) = 0

⇒ x = 0

ou x = 55

2) Un+1 = g(Un)

a) U₁ = g(U₀) = g(12) = -1,1x12²/605 + 1,1x12 ≈ 12,938 à 10⁻³ près

La population a augmenté de 0,938 x 1000, soit 938 individus environ de 2016 à 2017.

b) 0 ≤ U₀ ≤ 55

Supposons qu'au rang n : 0 ≤ Un ≤ 55

Au rang n+1 : Un+1 = g(Un)

D'après l'hypothèse de récurrence : 0 ≤ Un ≤ 55

et g est croissante sur [0;60]

⇒ g(0) ≤ g(Un) ≤ g(55)

g(0) = 0 et g(55) = ...55

⇒ 0 ≤ Un+1 ≤ 55

c) Un+1/ Un = -1,1Un/605 + 1

0 ≤ Un ≤ 55

⇒ 0 ≥ -1,1Un/605 ≥ -55*1,1/605

⇒ 1 ≥ -1,1Un/605 + 1 ≥ 11/10

⇒ Un+1/Un ≥ 1

⇔ Un+1 ≥ Un (car Un ≥ 0)

Donc (Un) croissante

d) (Un) est croissante et majorée par 55

donc (Un) est convergente

e) g(l) = l

D'après le 1)b) ⇒ l = 0 ou l = 55

l = 0 n'a pas de sens puisque U₀ = 12 et (Un) est croissante, donc l > 12.

On en déduit que lim Un = 55

ce qui se signifie que la population n'excèdera jamais 55000 individus.

3)
Tant que u < 50
u prend la valeur -1,1u²/605 + 1,1u
n prend la valeur n+1

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