Bonsoir serait-il possible de me corriger cette dérivée ainsi que la variation de cette fonction exponentielle

Bonjour,

f(x) = x + 3 - xe²ˣ

f'(x) = 1 - (e²ˣ + 2xe²ˣ) = 1 - e²ˣ(1 + 2x)

On peut remarquer que f'(0) = 0 mais c'est insuffisant pour déterminer le signe de f' sur R.

Donc on re-dérive : f"(x) = -2e²ˣ - 2e²ˣ(1 + 2x) = -4e²ˣ(1 + x)

x        -∞                -1                +∞
f"'(x)             +        0        -
f'(x)        crois.            décrois.

lim f'(x) en -∞ = 1
lim f'(x) en +∞ = -∞

et f'(-1) = 1 + 1/e² (≈ 1,13)

⇒ il existe α ∈ [-1;+∞[ / f'(α) = 0

Or on a vu f'(0) = 0 donc α = 0

x        -∞                0                   +∞
f'(x)              +       0          -
f(x)          crois.           décrois.

f(0) = 3

lim f(x) en -/ et +∞ = -∞