Bonjour, Je suis en terminale S. j'ai un DM en math dont certaines questions me posent problèmes qui sont en pièce jointe. Pour l'exercice 1, question 1 j'ai tr

Bonjour,

Ex 1

1) z = a + ib ⇒ zbarre = a - ib

a - ib + i = 2a + 2ib - 1

⇒ a = 2a - 1
et 1 - b = 2b

⇔ a = 1 et b = 1/3

⇒ z = 1 + i/3

2) [(z - 2i)/(z + 3)]² + 4[(z - 2i)(z + 3)] + 8 = 0          (⇒ z ≠ -3)

On pose Z = (z - 2i)/(z + 3)

⇒ Z² + 4Z + 8 = 0

Δ = 4² - 4x1x8 = 16 - 32 = -16 = (4i)²

Donc 2 solutions :

Z₁ = (-4 - 4i)/2 = -2 - 2i

Z₂ = (-4 + 4i)/2 = -2 + 2i

-2 - 2i = (z - 2i)/(z + 3)

⇔ (-2 - 2i)(z + 3) - (z - 2i) = 0

⇔ (-3 - 2i)z - 6 + 2i = 0

⇔ z = -(6 - 2i)/(3 + 2i)

⇔ z = -(6 - 2i)(3 - 2i)/(9 + 4)

⇔ z = (-14 + 18i)/13

idem pour Z₂...

(et vérifie mes calculs car faits à l'arrache...)

Ex 2

En déduire : De quoi ???

Ex 3)

a) ...

b) f(z) = (z - i - 1)(z² + αz + β)

= z³ + αz² + βz - iz² - iαz - iβ - z² - αz - β

= z³ + (α - i - 1)z² + (β - iα - α)z - iβ - β

⇒ α - i - 1 = - i + 1 ⇒ α = 2
    β - 2i - 2 = 1 - 2i ⇒ β = 3
    -3i - 3 = -3 - 3i

⇒ f(z) = (z - i - 1)(z² + 2z + 3)

c) f(z) = 0

⇒ z = 1 + i

ou z² + 2z + 3 = 0

Δ = 4 - 12 = -8 = (2√2i)²

z = -1 - √2i  ou z = -1 + √2i

Ex 4)

1)

lim g(x) quand x→-∞

= lim 3/x² = 0+

lim g(x) quand x→+∞

= lim -eˣ/x²

= -∞    (croissances comparées)

lim g(x) quand x→0⁺

= lim 3(1 - eˣ)/x²

= lim 3(1 - eˣ)(1 + eˣ)/(1 + eˣ)x²

= lim 3(1 - e²ˣ)/(1 + eˣ)x²

= lim 3/(1 + eˣ)x² - lim 3e²ˣ/(1 + eˣ)x²

= lim 3/2x² - lim 3e²ˣ/2x²

= (0) - ∞

= -∞

idem en 0⁻ : +∞

2) h(x) = eˣ(x² - 4x + 5)

lim h(x) quand x→ +/-∞

= lim eˣx²

donc en -∞ : 0⁺

et en +∞ : +∞