Bonjour/bonsoir !! Je suis en Tle S, j'ai besoin de votre pour la partie B de cet exercice s'il vous plaît... Merci beaucoup

Bonjour,

Partie A

1) C'(t) = 12 * 7/80e^(-7t/80) = 84/80 * e^(-7t/80) = 21/20 * e^(-7t/80)

⇒ C'(t) > 0 sur [0;+∞[ ⇒ C(t) est croissante

t          0                          +∞
C'(t)                  +
C(t)          croissante

2) lim C(t) quand t→+∞ = 12 car lim e^(-7t/80) = 0

Donc le plateau de 15 n'est pas atteint : Le traitement n'est pas efficace

Partie B

f(x) = 105/x * (1 - e^(-3x/40)) définie sur ]0;+∞[

1) f est de la forme u x v avec :

u(x) = 105/x ⇒ u'(x) = -105/x²

v(x) = 1 - e^(-3x/40) ⇒ v'(x) = 3/40 * e^(-3x/40)

f' = u'v + uv'

⇒ f'(x) = -105/x² * (1 - e^(-3x/40)) + 105/x * 3/40 * e^(-3x/40)

⇔ f'(x) = 105/x² * [-1 + e^(-3x/40) + 3x/40 * e^(-3x/40)]

⇔ f'(x) = 105/x² * g(x)

avec g(x) = 3x/40 * e^(-3x/40) + e^(-3x/40) - 1

2)

x      0                              +∞
g(x) 0                -              -1
f'(x)  ||                -             
f(x)   ||      décroissante

3) f(x) = 5,9

f(1) = 105(1 - e^(-3/40) ≈ 7,58

f(80) = 105/80 * (1 - e⁻⁶) ≈ 1,31

f(80) ≤ 5,9 ≤ f(1) et f est strictement décroissante sur ]0;+∞[

Donc il existe une unique valeur α ∈ ]1;80[ tel que f(α) = 5,9

On trouve α ≈ 8,1 à 0,1 près