Bonjour tout le monde ! (Terminale S) quelqu'un pourrait m'aider pour la partie B car je n'y arrive pas s'il vous plaît....

Bonjour,

Partie B

1) On peut conjecturer que : ∀ x ∈ R, f(x) ≤ g(x)

2)Sur ]-∞;0], d'après la partie A, f(x) ≤ 0. En effet :

x     -∞            -√2/2                   0            √2/2              +∞
f'(x)          -          0            +              +        0        -
f(x)        décrois.    croissante ...

f(0) = 0 et lim f(x) quand x→-∞ = 0

Or g(x) = e¹⁻ˣ ⇒ g(x) > 0 pour tout x réel.

Donc, pour tout x ∈ ]-∞;0], f(x) < g(x)

3) ∀ x ∈ ]0;+∞[, Φ(x) = ln(x) - x² + x

a) f(x) ≤ g(x)

⇔ xe^(1 - x²) ≤ e¹⁻ˣ

⇒ ln[xe^(1 - x²)] ≤ ln[e¹⁻ˣ]

⇔ ln(x) + ln[e^(1 - x²)] ≤ ln[e¹⁻ˣ]

⇔ ln(x) + (1 - x²) ≤ 1 - x

⇔ ln(x) - x² + x ≤ 0

⇔ Φ(x) ≤ 0

b) On admet que :

. f(x) = g(x) ⇔ Φ(x) = 0
. Φ est dérivable sur ]0;+∞[

Φ'(x) = 1/x - 2x + 1 = (-2x² + x + 1)/x

Signe de (-2x² + x + 1) sur ]0;+∞[ :

Δ = 1² - 4x(-2)x(1) = 9 = 3²

Donc 2 racines : x₁ = (-1 + 3)/(-4) = -1/2 ∉ ]0;+∞[

et x₂ = (-1 - 3)/(-4) = 1

x          0                     1                          +∞
Φ'(x)              +           0           -
Φ(x)        croissante  0   décroissante