Bonjour, On a [tex] \frac{ x^{2} -x- 2}{ x^{2} -2x+2} [/tex] Montrer que pour tout x, f(x) < 2 Merci pour votre réponse et bonne année!

Bonjour,
Soit f la fonction définit par:
f(x)=(x²-x-2)/(x²-2x+2).
Nous allons définir le domaine de définition de f, pour cela nous allons étudier le signe du dénominateur en résolvant l'équation:
x²-2x+2=0
Δ=b²-4ac=(-2)²-4(1)(2)=4-8=-4 donc on a Δ<0 donc cette équation ne s'annule jamais sur R et d'après le théorème du signe du polynôme est du même signe que 1 donc ∀x∈R on x²-2x+2>0. On en conclus alors que le domaine de définition de f est R. Nous allons étudier le signe de g(x)=f(x)-2 donc:
g(x)=(x²-x-2)/(x²-2x+2)-2
g(x)=(x²-x-2-2(x²-2x+2))/(x²-2x+2)
g(x)=(x²-x-2-2x²+4x-4)/(x²-2x+2)
g(x)=(-x²+3x-6)/(x²-2x+2)
g(x)=-(x²-3x+6)/(x²-2x+2)
∀x∈ x²-2x+2>0 donc le signe de g(x) dépend du numérateur.
Nous allons étudier ce signe en résolvant l'équation:
x²-3x+6=0
Δ=b²-4ac=(-3)²-4(1)(6)=9-24=-15
Comme Δ<0 donc cette équation ne s'annule jamais sur R donc le polynôme sera du même signe que 1 donc on peut écrire:
x²-3x+6>0
-(x²-3x+6)<0
comme x²-2x+2>0 donc on peut écrire:
-(x²-3x+6)/(x²-2x+2)<0
g(x)<0 comme g(x)=f(x)-2 donc:
f(x)-2<0
f(x)<2 -----> CQFD