bonjour j'aurais besoin d'aide pour cette exercice svp Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère la famille de droites Dm d’équations : Dm : mx + (2

Bonjour ;

1)

Dm : mx + (2m - 1)y + 4 = 0 ;
donc Dm : (2m - 1)y = - mx - 4 ;
donc Dm : y = - m/(2m - 1) x - 4/(2m - 1) , pour m ≠ 1/2 .

2)

Δ : 3x + 4y - 7 = 0 ;
donc Δ : 4y = - 3x + 7 ;
donc Δ : y = - 3/4 x + 7/4 .

Pour avoir Δ parallèle à La droite Dm , on doit avoir :
- m/(2m - 1) = - 3/4 ;
donc : m/(2m - 1) = 3/4 ;
donc : 4m = 6m - 3 ;
donc : 3 = 2m ;
donc : m = 3/2 .

3)

Pour m = 0 , on a D0 : y = 4 ,
donc D0 est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point (0 ; 4) .

Pour m = 1/2 , on a D1/2 : x = - 8 ,
donc D1/2 est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point (- 8 ; 0) .

4)

D1 : y = - x - 4 et D2 : y = - 2/3 x - 4/3 .
L'abscisse du point de leur intersection vérifie l'équation suivante :
- x - 4 = - 2/3 x - 4/3 ;
donc : - 1/3 x = 8/3 ;
donc : x = - 8 ;
donc le point de leur intersection a pour ordonnée : y = - (- 8) - 4 = 4 ;
donc les coordonnées de ce point sont : (- 8 ; 4) .

5)

Soient m et m' tels que m ≠ m' .
Supposons que m et m' sont différents de 1/2 .

On a : Dm est parallèle à Dm' si - m/(2m - 1) = - m'/(2m' - 1) ;
donc : 2mm' - m = 2mm' - m' ;
donc : m = m' ;
ce qui contredit l'hypothèse : m ≠ m' ,
donc les droites Dm et Dm' ne sont pas parallèles ;
donc les droites Dm et Dm' sont concourantes .