bonjour à tous svp aider moi à faire les dex dernières questions de cet exercice. Merci d'avance !

Bonjour,

1) Par récurrence

U₁ = 7/3 donc U₁ ≥ 1

Supposons qu'au rang n, Un ≥ 1

Au rang (n + 1) :

Un+1 = (7Un + 3)/(3Un + 7)

7Un + 3 = (3Un + 7) + (4Un - 4) = (3Un + 7) + 4(Un - 1)

⇒ Un+1 = 1 + 4(Un - 1)/(3Un + 7)

D'après l'hypothèse de récurrence, Un ≥ 1

⇒ (Un - 1) ≥ 0 et (3Un + 7) ≥ 0

⇒ 4(Un - 1)/(3Un + 7) ≥ 0

⇒ Un+1 ≥ 1

Donc propriété héréditaire

⇒ ∀ n ∈ N*, Un ≥ 1

2) Un+1 - Un

= (7Un + 3)/(3Un + 7) - Un(3Un + 7)/(3Un + 7)

= (7Un + 3 - 3Un² - 7Un)/(3Un + 7)

= 3(1 - Un)(1 + Un)/(3Un + 7)

D'après la question précédente : Un ≥ 1

⇒ 1 - Un ≤ 0

⇒ Un+1 - Un ≤ 0

⇒ (Un) est décroissante

3) a)

Un+1 - 1

= (7Un + 3 - 3Un - 7)/(3Un + 7)

= 4(Un - 1)/(3Un + 7)

Un ≥ 1

⇒ 0 < 4/(3Un + 7) ≤ 4/10 = 2/5

⇒ 0 < Un+1 - 1 ≤ 2/5 x (Un - 1)

b)

Donc, d'après la question précédente :

0 < Un - 1 ≤ 2/5 x (Un-1 - 1)
0 < Un-1 - 1 ≤ 2/5 x (Un-2 - 1)
etc...jusqu'à :
0 < U₂ - 1 ≤ 2/5 x (U₁ - 1)        avec U₁ - 1 = 4/3

On en déduit que :

∀ n ∈ N*, 0 < Un - 1 ≤ (2/5)ⁿ⁻¹ x 4/3