bonjour svp j'ai besoin d'aide soit x∈R*+ . Comparer [tex] \frac{1}{2x} [/tex] et [tex] \sqrt{ x^{2} +1} -x[/tex]

Bonjour,

On va étudier le signe de :

[√(x² + 1) - x] - 1/2x

√(x² + 1) - x - 1/2x ≥ 0

⇔ √(x² + 1) ≥ x + 1/2x

⇔ √(x² + 1) ≥ (2x² + 1)/2x

⇔ (sur R+*) x² + 1 ≥ (2x² + 1)²/4x²

⇔ 4x⁴ + 4x² ≥ 4x⁴ + 4x² + 1

Impossible car 0 < 1

Donc pour tout x ∈ R+*, √(x² + 1) < x + 1/2x

⇔ √(x² + 1) - x < 1/2x