Bonjour, j'ai un dns a rendre pour demain et je n'y arrive pas, pouvez vous m'aider ? 1) Soit f la fonction définie sur R par f(x)= -x^2+5x. Démontrer qu'il exi

Bonjour,
Soit f la fonction définie sur R tel que: f(x)=-x²+5x.

1) Un courbe passe par un point si les coordonnées du points vérifient l'expression de la courbe. Dans notre cas, les tangentes passeront par A(1;5) si et seulement si leurs expressions vérifient ces coordonnées.
Nous allons commencer par chercher l'expression de la tangente de f en un point d'abscisse a. L'expression de cette tangente est donnée par la relation suivante:
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=(-2a+5)(x-a)+(-a²+5a)
y=-2ax+2a²+5x-5a-a²+5a
y=a²-2ax+5x
On a donc l'expression de la tangente en fonction de a. Nous lui appliquons les coordonnées de A puisqu'elle doit passer par ce point donc:
y=a²-2ax+5x
5=a²-2a(1)+5(1) car A(1;5)
5=a²-2a+5
a(a-2)=0
un produit de facteur est nul si et seulement si l'un des facteur est nul donc:
a=0 ou a-2=0 donc si a=2
Donc il existe bien deux tangentes qui passent par le point de coordonnées A(1;5). Nous les nommerons y(1) et y(2) donc:
y(1)=f'(0)(x-0)+f(0)
y(1)=(-2*0+5)(x)+(-0²+5*0)
y(1)=5x
y(2)=f'(2)(x-2)+f(2)
y(2)=(-2(2)+5)(x-2)+(-2²+5(2))
y(2)=(x-2)+6
y(2)=x+4
(voir pièce jointe pour le dessin)

2) Nous allons procéder de la même manière avec cette fonction. On appellera g la fonction évoquée dans cette question.
Soit g la fonction définis par: g(x)=x/(1-x) avec x≠1
y=g'(a)(x-a)+g(a)
y=(1/(1-a)²)(x-a)+(a/(1-a))
On applique alors les coordonnées (-2;1) donc:
1=(1/(1-a)²)(-2-a)+(-2)/(1+2) car g'(x)=1/(1-x)²
1=(-2-a)/(1-a)²-2/3
5/3(1-a)²=-2-a
5/3(1-2a+a²)+2+a=0
5/3-(10/3)a+(5/3)a²+2+a=0
(5/3)a²-(7/3)a+11/3=0
5a²-7a+11=0
On résout  cette équation du second degrés:
Δ=b²-4ac=(-7)²-4(5)(11)=49-220=-171
Comme Δ<0 alors cette équation n'a pas de solution dans R donc il n'existe aucune tangente à la courbe de g qui passe par le point (-2;1)

3) On reste sur le même raisonnement. Soit h la fonction définit sur [0;+∞[ telle que: h(x)=x+2√x.
On procède d'abord en calculant la tangente à cette courbe en un point point d'abscisse a par:
y=h'(a)(x-a)+h(a)
comme h'(x)=(x+2√x)'=1+1/√x avec x≠0 donc
y=(1/√a)(x-a)+(a+2√a)
y=(x/√a)-a+a+2√a
y=(x/√a)+2√a
On applique les coordonnées (0;2) à cette expression donc:
2=(0/√a)+2√a
√a=1
a=1
Il existe donc une tangente à la courbe de h au point d'abscisse a=1.
On peut maintenant calculer l'équation de cette tangente:
y=h'(1)(x-1)+h(1)
y=(1/√1)(x-1)+(1+2√1)
y=x-1+3
y=x+2