MATRICES SPE MATHS TS coucou tout le monde pouvez vous m aider svpp pour le 2)a et c et pour le 3)b et c pour la recurrance j ai deja trouver l initialisation m

Bonjour,

2)a)

On vérifie N⁰ = I (par convention)

et a₀A + b₀B = 1/8 x A - 1/8 x B = I

donc vrai au rang n=0

On suppose vrai au rang n

Au rang n+1 :

Nⁿ⁺¹ = N x Nⁿ = N(anA + bnB) = anNA + bnNB = an x 12A + bn x 4B

= 12anA + 4bnB

= an+1xA + bn+1xB

donc propriété héréditaire

b) (an) (bn) suites géométriques

on en déduit : an = 1/8 x 12ⁿ et bn = -1/8 x 4ⁿ

c) M = 1/20 x N

⇒ Mⁿ = (1/20)ⁿ x Nⁿ

⇔ Mⁿ = (1/20)ⁿ[1/8 x 12ⁿA - 1/8 x 4ⁿB]

⇔ Mⁿ = 1/8 x (12/20)ⁿA - 1/8 x (4/20)ⁿB

⇔ Mⁿ = 1/8 x (3/5)ⁿA - 1/8 x (1/5)ⁿB

3) a)

Xn+1 [tex] \left[\begin{array}{ccc}un+1\\dn+1\\tn+1\end{array}\right] [/tex]

Donc Xn+1 = MXn

b) Xn = MXn-1 = M x MXn-2 = .... = Mⁿ⁻¹X₁

c)

X₁ [tex] \left[\begin{array}{ccc}7/20\\3/20\\9/20\end{array}\right] [/tex]

Mⁿ⁻¹ = 1/8 x (3/5)ⁿ⁻¹A - 1/8 x (1/5)ⁿ⁻¹B


A [tex] \left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\3&2&1\\9&6&3\end{array}\right] [/tex]


B [tex] \left[\begin{array}{ccc}-5&2&1\\3&-6&1\\9&6&-5\end{array}\right] [/tex]



⇒ un = 1/8 x (3/5)ⁿ⁻¹x3 - 1/8 x (1/5)ⁿ⁻¹x(-5) = 3/8 x (3/5)ⁿ⁻¹ + 5/8 x (1/5)ⁿ⁻¹

idem pour dn et tn