Bonjour, pouvez vous m’aidez pour cette exercice svp

Bonjour,

f(x) = (x - 1)e²ˣ - 1 - x

1)a) f'(x) = e²ˣ + 2(x - 1)e²ˣ - 1 = (2x - 1)e²ˣ - 1

b) f'(0) = -e⁰ - 1 = -2

lim f'(x) quand x→ +∞ = lim 2xe²ˣ = +∞

2) f"(x) = 2e²ˣ + 2(2x - 1)e²ˣ = 4xe²ˣ

3) f'(0) = -2 < 0

et lim f'(x) = +∞

f"(x) = 4xe²ˣ ⇒ f"(x) ≥ 0 sur [0;+∞[ ⇒ f' est croissante sur cet intervalle.

x        0                      +∞
f"(x)   0          +
f'(x)    -2  croissante +∞

Donc il existe une valeur de x, notée x₀, appartenant à [0;+∞[, tel que f'(x₀) = 0

4)a)

x            0                          x₀                     +∞
f'(x)                   -                0          +
f(x)            décroissante          croissante

b) f(0) = (0 - 1)e⁰ - 0 - 1 = -2 donc f(0) < 0

et f est décroissante sur [0;x₀]

Donc f est négative sur [0;x₀]

c) f(2) = (2 - 1)e⁴ - 2 - 1 = e⁴ - 3    (≈ 51,6) donc f(2) > 0

et f est négative sur [0;x₀]

⇒ il existe un unique a ∈ [0;+∞[ tel que f(a) = 0

on trouve a ≈ 1,19 à 0,01 près