Bonjour, pouvez vous m’aidez pour c’est exercice 1 et 94

Bonsoir,

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = √(1+sin²(x))

1. f(x+π) = √(1+sin²(x+π)) = √(1+(sin(x+π))²) = √(1+(-sin(x))²) = √(1+(sin(x))²) = √(1+sin²(x)) = f(x)
Donc f est π-périodique.

2. f(-x) = √(1+sin²(-x)) = √(1+(sin(-x))²) = √(1+(-sin(x))²) = √(1+(sin(x))²) = √(1+sin²(x)) = f(x)
Donc f est paire.

3. f est dérivable sur ℝ, et f'(x) = ((1+sin²(x))')/(2√(1+sin²(x))) = (2cos(x)sin(x))/(2√(1+sin²(x))) = (cos(x)sin(x))/(√(1+sin²(x)))
∀x∈[0;π/2], 0 ≤ sin²(x) ≤ 1, d'où 1 ≤ 1+sin²(x) ≤ 2, d'où 1 ≤ √(1+sin²(x)) ≤ √2, d'où √(1+sin²(x)) > 0
De plus, ∀x∈[0;π/2], cos(x) ≥ 0 et sin(x) ≥ 0, d'où sin(x)cos(x) ≥ 0
Donc f' est positive sur [0;π/2]
En outre, ∀x∈[0;π/2], f'(x) = 0 ⇔ sin(x)cos(x) = 0 ⇔ sin(x) = 0 ou cos(x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = π/2, donc f' s'annule en 0 et en π/2

4. ∀x∈[-π/2;0], √(1+sin²(x)) > 0
De plus, ∀x∈[0;π/2], cos(x) ≥ 0 et sin(x) ≤ 0, d'où sin(x)cos(x) ≤ 0
Donc f' est négative sur [-π/2;0]
Donc on en conclut que f est croissante sur [-π/2;0], puis croissante sur [0;π/2]
f(-π/2) = f(π/2) = √(1+sin²(π/2)) = √(1+1²) = √2
f(0) = √(1+sin²(0)) = √(1+0²) = 1
Je te laisse construire le tableau de variations, sachant que je t'ai déjà donné tous les éléments pour le faire.