Bonjour à tous (bonne année), j'ai un exercice sur les limites et j ai essayé au mieux d'y répondre cependant je ne suis vraiment pas sûr si cette méthode qu'il

Bonjour,

Par exemple, traitons le (c), cela te donne la méthode à utiliser pour les autres.
On appelle un l'expression dont on veut calculer la limite.
On aura :
[tex]n\ln n - \sqrt n = n\left(\ln n - \frac {1}{\sqrt n}\right) \to +\infty[/tex]
Donc pour n assez grand, le dénominateur et le numérateur de l'écriture fractionnaire restent toujours positifs.
On a donc, pour n assez grand,
[tex]\ln u_n = \frac 1n \ln \left(1+e^{n^2}\right) - \ln \left(n\ln n -\sqrt n \right)\\ \ln u_n = \frac 1n\left[\ln e^{n^2} + \ln \left(1+e^{-n^2}\right)\right] - \ln \left(n\ln n -\sqrt n \right)\\ \ln u_n = n + \frac{1}{n}\ln \left(1+e^{-n^2}\right) - \left[\ln \left(n\ln n\right)+ \ln \left(1-\frac{1}{\sqrt n \ln n}\right) \right]\\ \ln u_n = n- \ln n - \ln (\ln n) + \frac{1}{n}\ln \left(1+e^{-n^2}\right) - \ln \left(1-\frac{1}{\sqrt n \ln n}\right)\\[/tex]
[tex] \ln u_n = n \left[1- \frac{\ln n}{n} - \frac{\ln \left(\ln n\right)}{\ln n}\cdot \frac{ln n}{n}\right] + \frac{1}{n}\ln \left(1+e^{-n^2}\right) - \ln \left(1-\frac{1}{\sqrt n \ln n}\right)[/tex]

Le premier terme tend vers +∞ (car ln n -> +∞). Les autres termes tendent vers 0.

Si tu as des questions, n'hésite pas !=)