Bonjour pouvez vous m'aider pour ce DM je n'y arrive pas merci de m'aider =)

Bonjour,

Partie A

1) g'(x) = 2x - 2/x = (2x² - 2)/x = 2(x² - 1)/x = 2(x - 1)(x + 1)/2

x          0                          1                        +∞
x-1                    -              0            +
g'(x)     ||            -             0             +

2)

g(x)      ||  décroissante      croissante

3) g(1) = 1² - 2ln(1) + 2 = 3

donc g(1) > 0

Or g atteint un minimum sur I pour x = 1

Donc, pour tout x ∈ , g(x) > 0

Partie B

1)a) lim f(x) quand x→0

= lim ln(x)/x + x/2 - 1

= lim ln(x)/x - 1      ( car lim x/2 quand x→0 = 0)

= -∞                       (ln(x) → -∞ donc ln(x)/x → -∞)

b) oublié je suppose dans l'énoncé : lim f(x) quand x→+∞

= lim x/2 - 1 car lim ln(x)/x = 0

= +∞

2)a) f'(x) = [(1/x * x) - ln(x)]/x² + 1/2

= 2[1 - ln(x)]/2x² + x²/2x²

= (x² - 2ln(x) + 2)/2x²

= g(x)/2x²

b)

x          0                                        +∞                  
g(x)                          +
f'(x)                           +
f(x)      0            croissante          +∞

3)a)

f(1) = 0 + 1/2 - 1 = -1/2

f(2) = ln(2)/2 + 2/2 - 1 = ln(2)/2

b) f(1) < 0
f(2) > 0

et f est strictement croissante sur I

Donc il existe un unique α ∈ [1;2] tel que f(α) = 0

c) on trouve α ≈ 1,47 à 10⁻² près

4) T : y = f'(1)(x - 1) + f(1)

f'(1) = 3/2

f(1) = -1/2

Donc T : y = 3/2(x - 1) - 1/2 ⇔ y = 3x/2 - 2

5) voir ci-joint