Bonjour, Maths niveau Terminale Je suis bloqué pour le 2) Un = ? et le 3) Merci pour votre aide.

Bonjour,

2)
[tex]v_0=u_0-\dfrac{1}{3}=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\\ v_1=\dfrac{5}{3}*2\\ v_2=\dfrac{5}{3}*2^2\\ v_{n}=\dfrac{5}{3}*2^n\\ u_n=v_n+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}*(5*2^n+1)\\ \\ 3)\\s_n=\sum_{i=0}^n\ u_n=\dfrac{1}{3}*(5*\sum_{i=0}2^i\ +\sum_{i=0}^n\ 1\ )\\ =\dfrac{5}{3}\dfrac{(2^{n-1}-1)}{2-1}+\dfrac{1}{3}*(n+1)\\ =\dfrac{5*(2^{n+1}-1)}{3}+\dfrac{1}{3}*(n+1)\\ [/tex]

Bonjour,
2) Tu sais que V(n) est géométrique donc on peut écrire que:
V(n)=V(0)×q^n
On sait de plus que:
V(n)=U(n)-1/3
U(n)=V(n)+1/3
U(n)=V(0)×q^n+1/3
comme q=2 et que V(0)=U(0)-1/3=2-1/3=5/3 donc:
U(n)=(5/3)×2^n+1/3
U(n)=(1/3)(5×2^(n)+1)

3) On sait par énoncé que:
V(n)=U(n)-1/3 donc U(n)=V(n)+1/3.
Comme on a:
S(n)=U(0)+U(1)+U(2)+...+U(n-1)+U(n)
S(n)=V(0)+1/3+V(1)+1/3+...+V(n-1)+1/3+V(n)+1/3
S(n)=V(0)+V(1)+...+V(n-1)+V(n)+(n+1)×(1/3)
Comme V(n) est géométrique donc la sommeS' de ses termes est donnée par:
S'=V(0)+V(1)+...+V(n-1)+V(n)
S'=V(0)×((q^(n+1))-1)/(q-1)
Avec q=2 V(0)=5/3 donc
S'=(5/3)((2^n)-1)/(2-1)
S'=(5/3)((2^(n+1)-1)
On en déduis alors S(n) par:
S(n)=S'+(n+1)(1/3)
S(n)=(5/3)((2^n)-1)+(n+1)(1/3)
S(n)=(1/3)(5(2^(n+1)-1)+n+1)