Bonjour pouvez vous m'aider s'il vous plaît merci

Bonjour,

voir figure

1) a) Repère (A;AB;AC)

A(0;0) B(1;0) C(0;1) ⇒ AB(1;0) et AC(0;1)

AD = 1/2AC ⇒ D(0;1/2)

AE = 1/3AB ⇒ E(1/3;0)

BF = 2BC

⇔ BA + AF = 2(BA + AC)
⇔ AF = BA + 2AC = -AB + 2AC

⇒ F(-1;2)

b) D(0;1/2) E(1/3;0) et F(-1;2)

⇒ DE(1/3;-1/2) et DF(-1;3/2)

⇒ -3DE = DF

⇒ DE et DF colinéaires

⇒ D, E et F alignés

2) a)

DE = DA + AE
= -AD + AE
= -1/2AC + 1/3AB
= 1/3AB - 1/2AC

DF = DA + AB + BF
= -AD + AB + 2BC
= -1/2AC + AB + 2(BA + AC)
= -1/2AC + AB - 2AB + 2AC
= -AB + 3/2AC

b) on en déduit : -3DE = DF

⇒ D, E et F alignés

3) a)

A, E et I alignés car I ∈ (AB)
A, D et C alignés dans le même ordre

(ED)//(IC)

Donc d'après Thalès : AD/AC = AE/AI

Or AD = 1/2AC ⇒ D milieu de [AC] ⇒ AD/AC = 1/2

Donc AE/AI = 1/2

⇒ E est le milieu de [AI]

b) E milieu de de [AI] ⇒ AE = EI

Or AE = 1/3AB

⇒ EI = 1/3AB

⇒ IB = AB - AI = AB - (AE + EI) = AB - 2/3AB = 1/3AB

⇒ IB = EI

⇒ I milieu de [EB]

c) Réciproque de Thalès