Bonjour, j’ai une question en maths qui dit : Trouver trois entiers consécutifs dont le produit est égal à cinq fois la somme. Pouvez vous m’aider ?

Bonjour ;

Soient n ; n + 1 et n + 2 les trois nombres entiers naturels consécutifs .

Soit S leur somme , donc : S = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1) ;
et P leur produit , donc : P = n(n + 1)(n + 2) .

On a : P = 5 S ;
donc : n(n + 1)(n + 2) = 5 x 3(n + 1) = 15(n + 1) ;
donc : n(n + 2) = 15 ( on a divisé par (n + 1)) .

Pour trouver la solution , on procède (si on veut) par tâtonnement
ou on résout l'équation : n(n + 2) = 15 .

Première méthode (par tâtonnement) .
On remarque que pour n = 3 , on a : 3(3 + 2) = 15 ;
donc les trois nombres entiers naturels recherchés sont :
n = 3 ; n + 1 = 4 et n + 2 = 5 .

Deuxième méthode (résolution de l'équation : n(n + 2) = 15) .
n(n + 2) = 15 ;
donc : n² + 2n = 15 ;
donc : n² + 2n - 15 = 0 ;
donc : n² + 5n - 3n - 15 = 0 ;
donc : n(n + 5) - 3(n  + 5) = 0 ;
donc : (n + 5)(n - 3) = 0 ;
donc : n + 5 = 0 ou n - 3 = 0 ;
donc : n = 3 ou n = - 5  (solution à écarter si on travaille sur N) ;
donc : n = 3 ;
donc les trois nombres entiers naturels recherchés sont :
n = 3 ; n + 1 = 4 et n + 2 = 5 .

Bonjour,

trouver 3 entiers consécutifs dont le produit est égal à cinq fois la somme.

n : premier entier consécutif
n + 1 : deuxième entier
n + 2 : troisième entier

n x (n + 1) x (n + 2) = 5 x (n + n + 1 + n + 2)
(n² + 2n)(n + 1) = 5 x (3n + 3)
(n² + 2n)(n + 1) = 5 x 3(n + 1) (=> il faut que n ≠ -1)
n² + 2n = 15
n² + 2n - 15 = 0

Δ = (2)² - 4 x 1 x (-15)
Δ = 4 + 60
Δ = 64
√Δ = √64 = 8 > 0 donc deux solutions possibles

n1 = (-2 - 8)/(2 x 1) = -10/2 = -5
n2 = (-2 + 8)/(2 x 1) = 6/2 = 3

Les entiers consécutifs sont :

3, 4 et 5
ou
- 5, -4 et -3

vérification :

3 x 4 x 5 = 60
5 x (3 + 4 + 5) = 5 x 12 = 60

-5 x -4 x -3 = - 60
5 x (-5 - 4 - 3) = 5 x (-12) = -60