Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice 2 et 3 de mon DM s'il-vous-plait, Merci d'avance! Exercice 2: Soit la fonction g définie sur R par g(x)=1-2x³ 1. M
Mathématiques
popohermantin
Question
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice 2 et 3 de mon DM s'il-vous-plait, Merci d'avance!
Exercice 2:
Soit la fonction g définie sur R par g(x)=1-2x³
1. Montre que g est décroissante sur R
2. A l'aide de la calculatrice, donne une valeur arrondie au dixième de la solution unique de l'équation g(x) = 0
Exercice 3:
Chaque jour, une usine fabrique et vend de petits appareils ménagers. Le coût total (en euros) de fabrication de x appareils est donné par la formule:
C(x)= 0,02²+8x+ 500, la quantité x d'appareils fabriqués ne pouvant dépasser 600.
Chaque appareils est ensuite vendu 19€.
1. Exprime la recette R (x) en fonction de la quantité x.
2. Démontre que le bénéfice réalisé par l'usine est donnée par la formule: B(x) = -0,02x²+11x-500.
3. a. Etablis le tableau de variation de la fonction bénéfice B en justifiant ta réponse.
b. Déduis-en la quantité à produire pour avoir un bénéfice maximal que tu préciseras
4. Résous l'équation B(x) >(ou égale) 0
Encore merci à ceux qui m'aideront!
Exercice 2:
Soit la fonction g définie sur R par g(x)=1-2x³
1. Montre que g est décroissante sur R
2. A l'aide de la calculatrice, donne une valeur arrondie au dixième de la solution unique de l'équation g(x) = 0
Exercice 3:
Chaque jour, une usine fabrique et vend de petits appareils ménagers. Le coût total (en euros) de fabrication de x appareils est donné par la formule:
C(x)= 0,02²+8x+ 500, la quantité x d'appareils fabriqués ne pouvant dépasser 600.
Chaque appareils est ensuite vendu 19€.
1. Exprime la recette R (x) en fonction de la quantité x.
2. Démontre que le bénéfice réalisé par l'usine est donnée par la formule: B(x) = -0,02x²+11x-500.
3. a. Etablis le tableau de variation de la fonction bénéfice B en justifiant ta réponse.
b. Déduis-en la quantité à produire pour avoir un bénéfice maximal que tu préciseras
4. Résous l'équation B(x) >(ou égale) 0
Encore merci à ceux qui m'aideront!
1 Réponse
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1. Réponse greencalogero
Bonjour,
Ex 2:
1) Soit la fonction g définie sur R par g(x)=1-2x³, il s'agit d'une fonction polynôme du 3ème degrés qui est dérivable sur R et note g' sa dérivée:
g'(x)=(1-2x³)'
g'(x)=-3*2x²
g'(x)=-6x²
g'(x)=0 si x=0
x²≥0∀x∈R donc -6x²≤0∀x∈R, on en déduis que g'(x)≤0 donc g est décroissante sur R
2) Il s'agit de résoudre g(x)=0:
g(x)=0
1-2x³=0
2x³=1
x³=1/2
x=∛(1/2)≈0.8 au dixième près
Ex3:
1) D'après l'énoncé, on sait que chaque appareil est vendu 19€ donc la recette R(x) peut être exprimée comme suit:
R(x)=19x
2) Le bénéfice B(x) est la différence entre la recette R(x) et le coût C(x) donc:
B(x)=R(x)-C(x)
B(x)=19x-(0.02x²+8x+500)
B(x)=19x-0.02x²-8x-500
B(x)=-0.2x²+11x-500----->CQFD
3)a) On sait que la fabrique ne peut donnée plus que 600 appareils donc la fonction est définie sur [0;600]. B(x) est une fonction polynôme du 2nd degrés qui est dérivable sur cet intervalle et on note B'(x) cette dérivée donc:
B'(x)=(-0.02x²+11x-500)'
B'(x)=-0.02*2*x+11
B'(x)=-0.04x+11
Nous allons étudier le signe de B'(x) pour établir les variations:
B'(x)=0 si -0.04x+11=0⇒x=11/0.04=275
B'(x)≤0 si -0.04x+11≤0⇒-0.04x≤-11⇒0.04x≥11⇒x≥11/0.04⇒x≥275 donc B(x) est décroissante sur [275;600]
B'(x)≥0 si -0.04x+11≥0⇒-0.04x≥-11⇒0.04x≤11⇒x≤275 donc B(x) est croissante sur [0;275]
(je te laisse dessiner le tableau qui est facile)
b) Le tableau de variation montre que la fonction B(x) change de sens de variation, en passant de la croissance puis à la décroissante, au point d'abscisse x=275 (de plus, la dérivée s'annule en ce point !) donc il s'agit du maximum de B(x) sur [0;600]. On en conclut qu'il faut produire et vendre 275 appareils pour atteindre le bénéfice maximum. On le calcul comme suit:
B(275)=-0.02(275)²+11*275-500
B(275)=-1512.50+3025-500
B(275)=1012.50 €
Le bénéfice maximal est donc 1012.50€
c) B(x)≥0
-0.02x²+11x-500≥0
Nous allons résoudre d'abord:
B(x)=0
Δ=b²-4ac=(11)²-4(-0.02)(-500)=121-40=81
x(1)=(-b-√Δ)/2a=(-11-9)/(-0.04)=500
x(2)=(-b+√Δ)/2a=(-11+9)/(-0.04)=50
Comme Δ>0 donc le polynôme est du signe de a donc négatif car a=-0.02 sur l'extérieur des racines donc B(x)≤0 sur [0;50]U[500.600] et B(x) est du signe de -a donc positif à l'intérieur des racines donc B(x)≥0 sur [50;500]