Merci pour votre par avance. Dans un repère orthonormé , on donne un point . 1. Déterminer l’équation du cercle (C) de centre et de rayon R = 5. 2. Démontre

Bonsoir,

1) Il faut rappeler qu'un cercle a pour équation générale:
(x-x(0))²+(y-y(0))²=R² avec le centre Oméga (x(0)y(0))
Ici on a Oméga (2;-3) et R=5 donc:
(x-2)²+(y+3)²=5²
(x-2)²+(y+3)²=25

2) A (-2;0) est sur le cercle si ses coordonnées vérifient l'équation du cercle donc:
(-2-2)²+(0+3)²
=(-4)²+3²
=16+9
=25 donc A(-2;0) vérifie l'équation du cercle  donc A est sur le cercle.

3) Il faut se souvenir qu'une tangente à un cercle est une droite perpendiculaire au rayon en ce point.
On va d'abord calculer l'équation du rayon, on sait qu'il passe par A(-2;0) et Oméga (2;-3) donc on peut établir le système suivant:
0=-2a+b (1) donc b=2a
-3=2a+b (2)
On introduit dans (2) donc:
-3=2a+2a⇒a=-3/4 donc b=2(-3/4)=-3/2 donc l'équation du rayon est:
y=(-3/4)x-(3/2)
On sait que la tangente est perpendiculaire au rayon donc son coefficient directeur est l'inverse de celui du rayon car 2 droites perpendiculaires ont le rapport de leur pente qui est égal à -1. Si on note a' cette pente alors:
a/a'=-1 comme a=-3/4
(-3/4)/a'=-1
1/a'=-1/(-3/4)
a'=3/4
Cette droite passe aussi par A(-2;0) donc elle vérifie cette équation donc:
0=(3/4)(-2)+b
b=-3/2
Donc la tangente au cercle au point A a pour équation:
y=(3/4)x-(3/2)