Bonsoir! Je vous remercie d'avance pour votre aide ! Alors ; Etudier les positions relatives des courbes y=x, y=x^2 (au carré) , y=x^3 (au cube) J'ai vu rapi

Comparons d'abord g(x)=x² et f(x)=x

x² > x⇔ x²-x > 0 ⇔ x (x-1) >0

En faisant un tableau de signe, nous pouvons déterminer quand ce produit entre x et (x-1) est positif, nul ou bien négatif et
donc respectivement quand x² > x, x² = x  ou bien x² < x
Bien sûr (x-1) est nul quand x=1

x         | -∞                    0                       1                  +∞ |
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x        |          -             0           +            |         +              | 
-------------------------------------------------------------------------|
(x-1) |           -              |             -           0        +              |
-------------------------------------------------------------------------
x²-x  |           +             0            -           0         +             |
-------------------------------------------------------------------------
        |      x² > x        x²=x        x²<x     x²=x      x² > x      |

Comparons maintenant g(x)=x² et h(x)=x³

x³ > x² ⇔ x³-x² > 0 ⇔ x (x² - x) > 0

Nous avons étudié le signe de (x² - x) dans le tableau précédent.
Nous pouvons donc reprendre les lignes "x" et "x² - x" du tableau précédent pour déterminer le signe du produit de x par (x²-x), donc de x³-x².

x         | -∞                    0                       1                  +∞ |
-------------------------------------------------------------------------
x         |          -             0           +            |         +              | 
--------------------------------------------------------------------------
x²-x    |           +             0            -           0        +             |
-------------------------------------------------------------------------
x³ - x² |           -             0          -             0         +             |
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          |  x³ < x²          x³=x²    x³<x²      x³=x²       x³>x²     |

Comparons enfin h(x) = x³ et f(x)=x
x³ > x ⇔ x³-x > 0 ⇔ x(x²-1) > 0
Si x²-1 = 0 alors x =1 ou x=(-1).
Or dans un polynôme du second degrès (ax² + bx + c) est du signe du coefficient a sauf entre ses racines. Donc ici, x²-1 est positif sauf entre -1 et 1.

Nous pouvons donc réaliser le tableau ci-dessous pour étudier le signe de 
x³-x

x         | -∞                    -1                      0                       1                    +∞ |
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x         |          -               |          -           0           +            |         +              | 
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x²-1    |           +             0         -           |           -              0         +             |
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x³-x    |           -              0         +         0          -               0         +             |
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         |   x³<x              x³=x     x³>x     x³=x     x³<x        x³=x     x³>x           |

En conclusion, en reprenant les comparaisons effectuées grâce à ces trois tableaux de signe :
Sur ]-∞ ; -1[ : x² > x > x³
Lorsque x=(-1) alors x² > x et x = x³
Sur ]-1 ; 0[ : x² > x³ > x
Lorsque x=0 alors x=x²=x³
Sur ]0 ; 1[ : x > x² > x³
Lorsque x=1 alors x=x²=x³
Sur ]1 ; +∞[ :  x³ > x² >x