Bonsoir ! Pouvez m'aider pour cet exercice de Spé maths. Juste pour la question 3 jusqu'à la fin s'il vous plaît.

Bonjour,

3) a) q divise n

on pose : n = qr avec r ∈ Z*

n et m sont premiers entre eux

⇒ D'après le théorème de Bezout, il existe 2 entiers relatifs u' et v' tels que :

nu' + mv' = 1

⇔ qru' + mv' = 1

On pose u = u ' et v = -v' :

⇒ qru - mv = 1 ⇔ nu - mv = 1

b) D'après 2)a) :

M(x₀;y₀) ∈ Δ avec x₀ et y ₀ entiers relatifs ⇔ q(mx₀ - ny₀) = np

⇔ q(mx₀ - ny₀) = qrp

⇒ (car q ≠ 0) mx₀ - ny₀ = rp

Or : nu - mv = 1 ⇔ rp = n(urp) - m(vrp)

Donc le couple : x₀ = -vrp et y₀ = -urp est solution

Il existe donc un point de Δ à coordonnées entières si et seulement si q divise n

4) m = 3, n = 8, p = 7 et q = 4

on vérifie bien m et n premiers entre eux et p et q premiers entre eux.

q divise n

Donc Δ possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

5)a)

Si Q divise N

Alors (X , M*X/N - P/Q) et (-X , -M*X/N - P/Q) sont toujours des coordonnées d'un point de Δ

Et si Q ne divise pas N, fin immédiate

Donc l'algo se termine toujours

b) Si Q divise N, affiche le point de Δ de coordonnées entières avec la plus petite abscisse possible (en valeur absolue)

Si Q ne divise pas N, affiche "Pas de solution"