Mathématiques

Question

Bonjour, pouvez vous m'aider, je n'y comprends rien du tout ?

On note n un nombre entier naturel et différent de 0, donc n ∈ ℕ*.

1. Démontrer que pour tout n ∈ ℕ*,1/n(n+1) = 1/n−/1n+1

2. En déduire le résultat de A=1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + 1/4×5

3. En déduire, pour n ∈ ℕ*, une simplification de :
S(n)=1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + 1/4×5 +.....+ 1/(n−1) × n + 1/n×(n−1)

4. Déterminer S(99) .

Voici l'énoncé plus clair (ex 2)
Bonjour, pouvez vous m'aider, je n'y comprends rien du tout ? On note n un nombre entier naturel et différent de 0, donc n ∈ ℕ*. 1. Démontrer que pour tout n ∈

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1 Réponse

  • Bonsoir,

    1) On part de la seconde partie de la formule:
    1/n-1/(n+1)
    =(n+1)/[n(n+1)]-n/[n(n+1)] ----> on réduit au même dénominateur
    =(n+1-n)/[n(n+1)]
    =1/[n(n+1)]----> CQFD

    2) On a donc:
    A=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)
    A=1-(1/2)+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5
    A=1-1/5
    A=4/5

    3) On en déduis alors:
    S(n)=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+...+1/[(n-1)n]+1/[n(n+1)]
    S(n)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)
    S(n)=1-1/(n+1)
    S(n)=(n+1)/(n+1)-1/(n+1)
    S(n)=(n+1-1)/(n+1)
    S(n)=n/(n+1)

    4) On va le calculer de la façon suivante:
    S(99)=99/(99+1)
    S(99)=99/100
    S(99)=0.99

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