Bonjour j'ai un DM de Mathématique à rendre bientôt cependant je suis coincé et j'aurais besoin de votre aide s'il vous plait je suis en 2nde: Soit ABC un trian
Mathématiques
Jeniferjonathan
Question
Bonjour j'ai un DM de Mathématique à rendre bientôt cependant je suis coincé et j'aurais besoin de votre aide s'il vous plait je suis en 2nde:
Soit ABC un triangle, A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB], et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
1.Faire une figure à la main ou avec un logiciel.
2. a) Construire le point D tel que vecOD=vecOA+vecOB
Quelle est la nature du quadrilatère OADB ?
b) En déduire que les droites (OD) et (AB) sont perpendiculaires.
3. a) Construire H tel que vecOH=vecOA+vecOB+vecOC
b)Quelle est la nature du quadrilatère ODHC ?
c) En déduire que (CH) est perpendiculaire à (AB).
4. Quelles autres relations démontrerait-on de même ? En déduire une propriété des trois hauteurs du triangle.
Ou j'en suis dans mon travaille:
Pour le moment j'ai fais la figure et je pense avoir répondu au 2.a:
On sait que vec OD = vecOA + vecOB
Or par la relation de Chasles on a vecOD = vecOA + vecAD
Donc vecOA + vecOB = vec OA + vec AD
On ajoute maintenant vec AO de chaque coté vectorielle:
vec AO + OAvec +OB vec =OA vec + AOvec + ADvec
Donc vec OB = vec AD
Par équivalence, ABDC est un parallélogramme.
Soit ABC un triangle, A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB], et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
1.Faire une figure à la main ou avec un logiciel.
2. a) Construire le point D tel que vecOD=vecOA+vecOB
Quelle est la nature du quadrilatère OADB ?
b) En déduire que les droites (OD) et (AB) sont perpendiculaires.
3. a) Construire H tel que vecOH=vecOA+vecOB+vecOC
b)Quelle est la nature du quadrilatère ODHC ?
c) En déduire que (CH) est perpendiculaire à (AB).
4. Quelles autres relations démontrerait-on de même ? En déduire une propriété des trois hauteurs du triangle.
Ou j'en suis dans mon travaille:
Pour le moment j'ai fais la figure et je pense avoir répondu au 2.a:
On sait que vec OD = vecOA + vecOB
Or par la relation de Chasles on a vecOD = vecOA + vecAD
Donc vecOA + vecOB = vec OA + vec AD
On ajoute maintenant vec AO de chaque coté vectorielle:
vec AO + OAvec +OB vec =OA vec + AOvec + ADvec
Donc vec OB = vec AD
Par équivalence, ABDC est un parallélogramme.
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) voir figure ci-joint
2)a) OD = OA + OB (en vecteurs)
A et B appartiennent au cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O.
Donc, OA = OB en longueurs
Or AD = AO + OD ⇒ AD = -OA + OA + OB = OB
De même, BD = BO + OD = -OB + OA + OB = OA
Donc AD = OB et BD = OA (en vecteurs !!)
De plus A et B appartiennent au cercle de centre O. Donc OA=OB (en longueurs)
Conclusion : OADB est un losange
b) Les droites (OD) et (AB) étant les diagonales de OADB, on en déduit que (OD) et (AB) sont perpendiculaires.
3)a) OH = OA + OB + OC = OD + OC pour la construction
b) CH = CO + OH = -OC + OD + OC = OD
⇒ ODHC est un parallélogramme
c) CH = OD ⇒ (CH)//(OD)
Or (OD)⊥(AB)
Donc (CH)⊥(AB)
4) On en déduit que (CH) est la hauteur de ABC issue de C.
On a construit H à partir de : OH = OA + OB + OC = OD + OC
On pourrait construire de même H' et H" tel que :
OH' = OA + OB + OC en partant de OH' = OD' + OA soit OD' = OB + OC
OH" = OB + OB + OC en partant de OH" = OD" + OB soit OD" = OA + OC
On pourrait alors conclure H = H' = H"
Et donc que les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point H appelé l'orthocentre.Autres questions
