Bonjour pouvez vous m'aider s'il vous plaît merci

Bonjour,

1) x² + x + 1 = 0

Δ = 1² - 4x1x1 < 0 donc pas de racine ⇒ trinôme toujours > 0

Donc Df = R

2) a) f est de la forme u/v avec :

u(x) = 5x + 2 ⇒ u'(x) = 5

et v(x) = x² + x + 1 ⇒ v'(x) = 2x + 1

⇒ f'= (u'v - uv')/v²

soit f'(x) = [5(x² + x + 1) - (5x + 2)(2x + 1)]/(x² + x + 1)²

⇔ f'(x) = [5x² + 5x + 5 - 10x² - 5x - 4x - 2]/(x² + x + 1)²

⇔ f'(x) = (-5x² - 4x + 3)/(x² + x + 1)²

b) Le signe de f' ne dépend que du signe de son numérateur

-5x² - 4x + 3 = 0
Δ = (-4)² - 4x(-5)x3 = 16 + 60 = 76

Donc 2 racines : x₁ = (4 - √76)/(-10) ≈ 0,47  soit 0,5 au 10ème près

et x₂ = (4 + √76)/(-10) ≈ -1,27    soit -1,3 au 10ème près

b) et c) f' est du signe de a=-5 à l'extérieur des racines

x        -∞                      x₂                      x₁                      +∞
f'(x)                  -           0          +          0            -
f(x)          décroiss.          croissante      décroissante

3)a) T : y = f'(0)x + f(0)

f'(0) = 3 et f(0) = 2

⇒ T : y = 3x + 2

b) ci-joint

c) f(x) - (3x + 2)

= (5x + 2)/(x² + x + 1) - (3x + 2)

= [(5x + 2) - (3x + 2)(x² + x + 1)]/(x² + x + 1)

= [5x + 2 - 3x³ - 3x² - 3x - 2x² - 2x - 2]/(x² + x + 1)

= (-3x³ - 5x²)/(x² + x + 1)

= x²(-3x - 5)/(x² + x + 1)

x² ≥ 0 sur R
(x² + x + 1) > 0 sur R

x                -∞                    -5/3                  0                  +∞
x²                            +                       +        0        +
(-3x - 5)                  +           0          -                   -
f(x) - y                     +           0          -         0        -


Donc C est au-dessus de T pour x ∈ ]-∞;-5/3[

C et T sont confondues pour x = - 5/3 et pour x = 0

et C est au-dessous de T sur ]-5/3;0[ ∪ ]0;+∞[