Bonjour je n’arrive pas faire faire le 3 un peu d’aide me ferai pas de mal :) merci d’avance :)

1) le côté AC et une horizontale d'ordonnée 2, le côté BC est une verticale d'abscisse -2, le triangle ABC est donc rectangle en C

2) les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes arithmétiques des coordonnées des extrémités, donc :

xK = ( 4 + (-2) ) / 2 = 1

yK = ( 2 + 0) / 2 = 1

K est le point (1;1)

3) dans un triangle rectangle, le centre du cercle inscrit est le milieu de l'hypoténuse (ici AB), c'est donc le point K. Son rayon est la moitié de la longueur de l'hypoténuse, soit la longueur de AK, qui est donnée par :

R = racine( ( xA - xK )² + ( yA - yK )² )

= racine( (4-1)² + (2-1)² ) = racine( 3²+1² ) racine( 9+1 ) = racine(10)

4) a) pour démontrer que D appartient à la circonférence de centre K et de rayon racine(10) il suffit de prouver que DK = racine(10)

DK = racine( ( xD - xK )² + ( yD - yK )² ) = racine( (2-1)² + (4-1)² )

= racine( 1² +3² ) = racine( 9 + 1 ) = racine( 10 ) = R

b) le triangle ADB est inscrit dans une demi circonférence de diamètre AB, il est donc rectangle en D

5) H appartient à BD, le coefficient directeur de BD est donné par :

mBD = ( 4 - 0 ) / ( 2 -(-2) ) = 4 / 4 = 1

l'équation de BD devient : y - 0 = 1 ( x + 2 )

soit y = x + 2

son  intersection avec AC (H) s'obtient en posant y = 2, d'où x = 0

les coordonnées de H sont (0;2)

le coefficient directeur de DA vaut mDA = (4 - 2) / ( 2 - 4 ) = +2/(-2) = -1

l'équation de la droite AD devient : y - 2 = (-1) ( x - 4 ) soit y = 6 - x

les coordonnées de E, s'obtiennent en posant x = -2 dans l'équation de AD, soit x = -2 et y = 8, les coordonnées de E sont (-2;8)

Coefficient directeur de EH : mEH = (8-2) / (-2-0) = 6/(-2) = -3

Coefficient directeur de AB : mAB = (2-0) / (4-(-2)) = 2 / 6 = 1/3

Deux droites sont perpendiculaires si le coefficient directeur de l'une vaut l'inverse de l'opposé du coefficient directeur de l'autre, on voit ici que :

mEH = -1 / mAB, d'où AH et AB sont perpendiculaires

H est l'orthocentre du triangle ADB (point d'intersection des trois hauteurs)