Bonsoir à tous. j'espère que vous allez bien. svp aider moi à faire les deux derniers questions de cet exercice. il s'agit des suites numériques merci d'avance!

Bonsoir,

1) Nous allons procéder à un raisonnement par récurrence.
.On vérifie au rang n=1 donc U(1)=7/3>1 donc vraie
.On suppose la proposition vraie au rang n donc U(n)>1
. On vérifie que cela est vraie au rang n+1
U(n)>1 (par hypothese)
7U(n)>7
7U(n)+3>10 (1)
U(n)>1
3U(n)>3
3U(n)+7>10 (2)
On réalise la division membre à membre de (1) par (2):
(7U(n)+3)/(3U(n)+7)>10\10
U(n+1)>1-----CQFD

2) Nous allons étudier le signe de U(n+1)-U(n):
U(n+1)-U(n)
=(7U(n)+3)/(3U(n)+7)-U(n)
=(7U(n)+3-U(n)(3U(n)+7))/(3U(n)+7)
=(7U(n)+3-3U(n)^2-7U(n))/(3U(n)+7)
=(3-3U(n)^2)/(3U(n)+7)
Comme U(n)>1 alors 3U(n)+7>0
Comme U(n)>1 alors U(n)^2>1 donc -3U(n)^2<-3 d'où 3-3U(n)^2<0
On en conclue alors que:
U(n+1)-U(n)<0
U(n+1)<U(n)
Cette suite est donc décroissante.

je laisse le reste car je n'ai pas le temps