Bonjour, problème :je mets un microbe dans un pot de yaourt. Chaque seconde il se multiplie par 2 de sorte que au bout d'une minute, ce pot est rempli. Combien

Bonjour,

On commence 0 au temps avec 1 microbe:
Donc à 0 secondes, on a 1 microbe -> 2⁰

Toutes les secondes, il se divise par 2;
Soit à 1 seconde: 2x1 = 2 -> 2¹
A 2 secondes: 2*2 = 4 -> 2²
Et ainsi de suite: 2³, 2⁴,..., 2ⁿ

On remarque que pour n secondes, on a 2 ⁿ microbes.

Donc en 1 minute il y aura 2⁶⁰ microbes, car 1 minutes = 60 secondes.

Maintenant si on commence avec 4 microbes:

Au temps 0 on a 4 microbes -> 4¹

Comme chaque microbe se divise en deux à chaque seconde:
A 1 seconde: 16 microbes -> 4²
A 2 secondes: 64 microbes -> 4³

On remarque que pour n secondes, on a [tex]4^{n+1}[/tex] microbes.

On sait qu'en prenant 1 microbe au départ, le pot en rempli en 1 minute.
On obtient d'ailleurs le nombre précis de microbes qu'il faut avoir pour remplir le pot: 2⁶⁰

La question est de trouver le nombre n de secondes pour lesquelles, le pot en rempli.

On pose la petite équation:

[tex]4^{n+1} = 2^{60}\\ 2n+2=60\\ 2n=60-2\\ 2n=58\\ n=\frac{58}{2}\\ \boxed{n=29}[/tex]
-> On met un égal car on veut une égalité de microbes.

Le pot sera rempli au bout de 29 secondes, en mettant 4 microbes au lieu de 1 seul dans le pot.

Bonne journée.