Bonsoir, je cherche la primitive de (2x+1)e^(-x)+2 Merci

Bonsoir 

[tex] (2x + 1)e^{-x} + 2=2xe^{-x}+e^{-x}+2[/tex]

[tex]\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int[2xe^{-x}+e^{-x}+2)dx\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int2xe^{-x}dx+\int e^{-x}dx+\int2dx[/tex]

Une primitive de [tex]e^{-x}[/tex] est [tex]-e^{-x}[/tex]

Une primitive de 2 est 2x.

Calcul d'une primitive de  [tex]2xe^{-x}[/tex]

Calculons-la par parties en utilisant la formule  [tex]\int fg'=fg-\int f'g[/tex]

f(x) = 2x ==> f'(x)=2
[tex]g'(x)=e^{-x}[/tex] ==> [tex]g(x)=-e^{-x}[/tex]

Donc nous avons :

[tex]\int 2xe^{-x}dx=2x\times(-e^{-x})-\int 2\times (-e^{-x})dx\\\\\int 2xe^{-x}dx=2x\times(-e^{-x})+2\int e^{-x}dx[/tex]

Comme une primitive de [tex]e^{-x}[/tex] est[tex] -e^{-x}[/tex], nous avons : 
 
[tex]\int 2xe^{-x}dx=-2xe^{-x}-2e^{-x}+k[/tex]


Par conséquent : 

[tex]\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int2xe^{-x}dx+\int e^{-x}dx+\int2dx\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=(-2xe^{-x}-2e^{-x})-e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=-2xe^{-x}-3e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=(-2x-3)e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=2x-(2x+3)e^{-x}+K[/tex]