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Question

Bonsoir ! Pouvez vous m'aider s'il vous plais ?

Dans un repère orthonormé (O;I;J) on donne A(3;0), B(0;2), et C(3;2)
Pour tout point M(m;0) avec m>3, la droite (CM) recoupe l'axe (oy) en N (voir figure)
Où doit-on placer le point M pour que l'aire du triangle BNC soit plus grande (ou égale) à celle du triangle AMC ?

Bonsoir ! Pouvez vous m'aider s'il vous plais ? Dans un repère orthonormé (O;I;J) on donne A(3;0), B(0;2), et C(3;2) Pour tout point M(m;0) avec m>3, la droite

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1 Réponse

  • Bonjour

    équation de la droite (CM) dans le repère : y = ax + b

    C ∈ (CM) ⇒ 2 = 3a + b
    M ∈ (CM) ⇒ 0 = ma + b

    ⇒ 3a - ma = 2 ⇔ a = 2/(3 - m)

    et b = -ma = -2m(3 - m)

    Donc (CM) : y = 2x/(3 - m) - 2m(3 - m)

    N(0;yN) ∈ (CM) ⇒ yN = -2m/(3 - m)

    Aire BNC = BCxBN/2 = 3(yN - 2)/2

    Aire AMC = ACxAM/2 = 2(m - 3)/2 = m - 3

    Aire BNC ≥ Aire AMC

    ⇔ 3(yN - 2)/2 ≥ m - 3

    ⇔ 3yN - 6 ≥ 2m - 6

    ⇔ 3yN ≥ 2m

    ⇔ -6m/(3 - m) ≥ 2m

    ⇔ -6m ≤ 2m(3 - m)           (m>3 donc 3 - m < 0)

    ⇔ -6m ≤ 6m - 2m²

    ⇔ 2m² - 12m ≤ 0

    ⇔ m(m - 6) ≤ 0

    m > 0 donc il faut (m - 6) ≤ 0

    Soit m ≤ 6

    donc m ∈ ]3 ; 6]

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